本文是继《一文了解有趣的位运算》的第二篇文章.

我们知道，计算机最基本的操作单元是字节(byte)，一个字节由8个位(bit)组成，一个位只能存储一个0或1，其实也就是高低电平。无论多么复杂的逻辑、庞大的数据、酷炫的界面，最终体现在计算机最底层都只是对0101的存储和运算。因此，了解位运算有助于提升我们对计算机底层操作原理的理解。

一、加法

两个二进制数异或运算的结果是不考虑进位时的结果，

两个二进制数与运算的结果中含有1的位是有进位的位。

以0101 + 0001 = 0110为例分析如下：

//计算 0101 + 0001
0101 ^ 0001 = 0100 //异或结果表明，如果不考虑进位，那么结果为0100
0101 & 0001 = 0001 //与运算结果表明，最低位需要向次低位进1
0001 << 1 = 0010   //与运算结果左移一位，将进位加到高位上

//递归计算 0100 + 0010，直到+号右侧数字为0

java代码：

递归

public static int add(int a, int b) {
   if (b == 0) {
       return a;
   } else {
       return add(a ^ b, (a & b) << 1);
   }
}

循环

public static int add2(int a, int b) {
    int sum = a;
    while (b != 0) {
        sum = a ^ b;
        b = (a & b) << 1;
        a = sum;
    }
    return sum;
}

二、减法

与加法的思路一致，只不过减去一个数等于加一个数的相反数。

例如：5-1 = 5+(-1)。所以，我们只需要求出被减数的相反数即可。

如何求出一个数的相反数？

计算机中存储的是二进制的补码形式，正数的补码与原码相同，负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反，然后在最后一位加1。

例如：

1在计算机中的二进制表示为：0000 0001

-1在计算机中的二进制表示为：1111 1111

计算过程为：

-1的原码：1000 0001

-1的反码：1111 1110

-1的补码：1111 1111

其中，由1的原码（0000 0001）取反可得-1的反码（1111 1110）

总结，一个数的相反数的求法就是该数每一位取反，末位加一。

java代码：

public static int minus(int a, int b) {
    return add(a, add(~b, 1));
}

三、乘法

如果没有思路，可以先在纸上笔算二进制乘法的过程：

0101    a
0110    b
------------
0000    
101   
01      
0       
------------
11110

梳理下笔算二进制乘法的过程：

初始化乘积结果为0，依次遍历数字b的末位 0→1→1→0，当末位为0时，乘积结果加上0，也就是乘积不变，A左移一位；当末位为1时，乘积结果加上A，A再左移一位。

如何遍历数字b的末位呢？

根据前面所学，我们可以使用与运算取一个数的末位，并不断右移数字b，直到数字b==0，即可结束位移。

需要注意的是正负数的符号问题，此处是先对a、b两数的绝对值计算其乘积，最后再确定其符号。

java代码为：

public static int multiply(int a, int b) {
      //将乘数和被乘数都取绝对值
      int A = a < 0 ? add(~a, 1) : a;
      int B = b < 0 ? add(~b, 1) : b;
      //计算绝对值的乘积
      int P = 0;
      while (B != 0) {
          if ((B & 1) != 0) { //取乘数的二进制的最后一位，0 or 1
              P = add(P, A);
          }
          A = A << 1;
          B = B >> 1;
      }
      //计算乘积的符号
      if ((a ^ b) < 0) {
          P = add(~P, 1);
      }
      return P;
}

四、除法

最简单的除法实现就是不停的用除数去减被除数，直到被除数小于除数时，此时所减的次数就是我们需要的商，而此时的被除数就是余数。

唯一需要注意的就是商的符号和余数的符号。商的符号确定方式也乘法是一样，即同号为正，异号为负。而余数的符号和被除数的符号是一样的。

和简单的乘法实现一样，这里我们要先对两数的绝对值求商，求余数。最后再确定符号。

public static int[] divide(int a, int b) {
      //对被除数和除数取绝对值
      int A = a < 0 ? add(~a, 1) : a;
      int B = b < 0 ? add(~b, 1) : b;
      //对被除数和除数的绝对值求商
      int C = A; // 余数C
      int N = 0; // 商N
      while (C >= B) {
          C = minus(C, B); // C-B
          N = add(N, 1); // N+1
      }
      // 求商的符号
      if ((a ^ b) < 0) {
          N = add(~N, 1);
      }
      // 求余数的符合
      if (a < 0) {
          C = add(~C, 1);
      }
      return new int[]{N, C};
}

需要指出的是，这种算法在A很大、B很小的情况下效率很低，那该如何优化算法减少while循环的次数呢？

不难想到，除法是由乘法的过程逆推而来的。例如 9÷4=2…1，也就是2*4+1=9。假设用9去减4*2，可以得出结果等于1，因为1小于4，那么就可以得出9÷4的商是2，余数是1。

如何确定4的倍数是逼近最终结果的关键。我们知道，int 整型有32位，除首位表示符号位，每一位的大小是 [2^0, 2^1, 2^2, , , 2^30]，最大的int整数是2^31-1。所以，我们可以依次将被除数与2^31, 2^30, …2^3, 2^2, 2^1, 1相乘，如果除数大于它们的乘积，除数就与之相减，并用相减得到的余数继续作为除数，直到循环结束。

java代码：

public static int[] divide(int a, int b) {
    // 对被除数和除数取绝对值
    int A = a < 0 ? add(~a, 1) : a;
    int B = b < 0 ? add(~b, 1) : b;

    int N = 0; // 商 N
    for (int i = 31; i >= 0; i--) {
        // 未使用A>=(B<<i)进行判断，因为只有左移B时舍弃的高位不包含1，才相当于该数乘以2的i次方.
        if ((A >> i) >= B) { // A ÷ 2^i >= B
            N += (1 << i); // N = N + 2^i
            A -= (B << i); // A = A - B*2^i
        }
    }

    int C = A; // 余数C
    // 求商的符号
    if ((a ^ b) < 0) {
        N = add(~N, 1);
    }
    // 求余数的符号
    if (a < 0) {
        C = add(~C, 1);
    }
    return new int[]{N, C};
}